ТФКП (Теория функций комплексного переменного)
Задание 1. Даны комплексные числа.
1) Чему равна действительная часть комплексного числа
2) Чему равна мнимая часть комплексного числа
1) Чему равна действительная часть комплексного числа
2) Чему равна мнимая часть комплексного числа
Решение:
1) Представим комплексное число в алгебраической форме, умножим числитель и знаменатель на 2 – 3i:
1) Представим комплексное число в алгебраической форме, умножим числитель и знаменатель на 2 – 3i:
Тогда, действительная часть комплексного числа равна - 4/13
2) Алгебраическая форма комплексного числа может быть получена умножением числителя и знаменателя
на 2 + 3i:
2) Алгебраическая форма комплексного числа может быть получена умножением числителя и знаменателя
на 2 + 3i:
Тогда, мнимая часть комплексного числа равна 8/13.
Задание 2. Данное комплексное число z = -1–i представить в тригонометрической и показательной формах и вычислить корень степени k= 4 из комплексного числа z
Решение:
Модуль комплексного числа найдём по формуле:
Задание 2. Данное комплексное число z = -1–i представить в тригонометрической и показательной формах и вычислить корень степени k= 4 из комплексного числа z
Решение:
Модуль комплексного числа найдём по формуле:
Так как комплексное число z находится в третьей четверти , значит аргумент комплексного числа будет равен
Тригонометрическая форма записи комплексного числа:
Показательная форма комплексного числа записывается по формуле:
Извлекаем корни по формуле:
Применим эту формулу для данного комплексного числа:
Далее вычисляем для каждого значения k:
Задание 3. Найти сумму, разность, произведение двух комплексных чисел. Изобразить данные комплексные числа на комплексной плоскости.
z1 = 1 - i, z2 = 3 - i.
Решение.
Найдем сумму комплексных чисел, используя формулу: z1 + z2 = (х1 + х2) + i (у1 + у2 ),
z1 + z2 = (1+3) + i (-1-1) = 4 - 2 i;
Найдем разность комплексных чисел, используя формулу: z1 - z2 = (х1 - х2) + i ( у1 - у2 )
z1 - z2 = (1-3) + i (-1+1) = -2
Найдем произведение комплексных чисел, используя формулу:
z1 × z2 = (х1 + i у1) × (х2 + i у2) = (х1 х2 - у1 у2) + i (х1 у2 + у1 х2),
z1 × z2 = (3-1) + i (-1 -3) = 2 – 4i
Изобразим комплексные числа на комплексной плоскости.
z1 = 1 - i, z2 = 3 - i.
Решение.
Найдем сумму комплексных чисел, используя формулу: z1 + z2 = (х1 + х2) + i (у1 + у2 ),
z1 + z2 = (1+3) + i (-1-1) = 4 - 2 i;
Найдем разность комплексных чисел, используя формулу: z1 - z2 = (х1 - х2) + i ( у1 - у2 )
z1 - z2 = (1-3) + i (-1+1) = -2
Найдем произведение комплексных чисел, используя формулу:
z1 × z2 = (х1 + i у1) × (х2 + i у2) = (х1 х2 - у1 у2) + i (х1 у2 + у1 х2),
z1 × z2 = (3-1) + i (-1 -3) = 2 – 4i
Изобразим комплексные числа на комплексной плоскости.
Задание 4. Представить в алгебраической форме
Решение:
Учитывая, что cos3i=ch3; sin3i=ish3 , имеем
Задание 5. Найти и изобразить множество точек комплексной плоскости, заданное условием
Решение:
Выполним построение множества точек комплексной плоскости: