Решение системы линейных уравнений.
Наиболее частым типовым расчётом в контрольных работах по высшей математике является задание на решение системы линейных уравнений, которые требуется решить разными способами.
Здесь на примере мы рассмотрим решение системы уравнений тремя способами
Задача. Решить систему тремя способами: методом Крамера, Гауса и методом обратной матрицы:
Здесь на примере мы рассмотрим решение системы уравнений тремя способами
- по правилу Крамера;
- методом Гаусса;
- с помощью обратной матрицы.
Задача. Решить систему тремя способами: методом Крамера, Гауса и методом обратной матрицы:
\[\begin{cases}x+2y+3z=1 \\3x+2y+z=-1\\2x+3y+z=-2 \end{cases}\]
Решение:
1. Решаем систему методом Крамера, учитывая, что в общем случае, решение методом Крамера имеет вид:
1. Решаем систему методом Крамера, учитывая, что в общем случае, решение методом Крамера имеет вид:
` x=\frac{d_{x}}{d}; y=\frac{d_{y}}{d}; z=\frac{d_{z}}{d}`
то есть решение сводится к вычислению четырех определителей третьего порядка.
Вычислим определитель системы:
Вычислим определитель системы:
\[d =\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\3 & 2& 1 \\2 & 3& 1 \end{bmatrix}=1\cdot2\cdot1+2\cdot1\cdot2+3\cdot3\cdot3-2\cdot2\cdot3-1\cdot3\cdot1-3\cdot2\cdot1=12\]
так как определитель системы не равен нулю , то система линейных уравнений имеет решение и при этом только одно.
Вычисляем остальные определители:
Вычисляем остальные определители:
\[d_{x} =\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\-1 & 2& 1 \\-2 & 3& 1 \end{bmatrix}=1\cdot2\cdot1-2\cdot1\cdot2-3\cdot1\cdot3+2\cdot2\cdot3-1\cdot3\cdot1+1\cdot2\cdot1=0\]
\[d_{y} =\begin{bmatrix}1 & 1 & 3\\3 & -1& 1 \\2 & -2& 1 \end{bmatrix}=-1\cdot1\cdot1+2\cdot1\cdot1-3\cdot2\cdot3+2\cdot1\cdot3+2\cdot1\cdot1-3\cdot1\cdot1=-12\]
\[d_{z} =\begin{bmatrix}1 & 2 & 1\\3 & 2& -1 \\2 & 3& -2 \end{bmatrix}=-1\cdot2\cdot2-2\cdot2\cdot1+3\cdot1\cdot3-2\cdot2\cdot1+3\cdot1\cdot1+3\cdot2\cdot2=12
\]
Вычисляем значения неизвестных:
\[x=\frac{0}{12}=0; y=\frac{-12}{12}= -1; z=\frac{12}{12}=1
\]
Итак, решение системы линейных уравнений имеет вид (0; -1; 1)
2. Решение в матричной форме.
В общем случае решение системы линейных уравнений в матричной форме имеет вид :
В общем случае решение системы линейных уравнений в матричной форме имеет вид :
\[Х=А^{-1}\cdotВ
\]
Записываем компоненты заданной системы линейных уравнений в явном виде:
\[Х=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right); A=\left(\begin{array}{c}1 & 2 & 3\\3 & 2& 1 \\2 & 3& 1 \end{array}\right); B=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -2\end{array}\right)
\]
Определитель матрицы А был найден в начале, определитель не равен нулю, значит для матрицы А существует обратная матрица. Вычисляем алгебраические дополнения для всех элементов матрицы:
\[А_{11} =\begin{bmatrix}2 & 1 \\3 & 1 \end{bmatrix}=-1;А_{12} =-\begin{bmatrix}3 & 1 \\2 & 1 \end{bmatrix}=-1;А_{13} =\begin{bmatrix}3 & 2 \\2 & 3 \end{bmatrix}=5;
\]
\[А_{21} =-\begin{bmatrix}2 & 3 \\3 & 1 \end{bmatrix}=7;А_{22} =\begin{bmatrix}1 & 3 \\2 & 1 \end{bmatrix}=-5;А_{23} =-\begin{bmatrix}1 & 2 \\2 & 3 \end{bmatrix}=1;
\]
\[А_{31} =\begin{bmatrix}2 & 3 \\2 & 1 \end{bmatrix}=-4;А_{32} =-\begin{bmatrix}1 & 3 \\3 & 1 \end{bmatrix}=8;А_{33} =\begin{bmatrix}1 & 3 \\2 & 2 \end{bmatrix}=-4
\]
Следовательно, обратная матрица имеет вид:
\[А^{-1}=\frac{1}{12}\cdot\left(\begin{array}{c}-1 & 7 & -4\\-1 &-5& 8 \\5 & 1& -4 \end{array}\right)
\]
Теперь можем найти решение заданной системы линейных уравнений:
\[Х=А^{-1}\cdotВ=\frac{1}{12}\cdot\left(\begin{array}{c}-1 & 7 & -4\\-1 &-5& 8 \\5 & 1& -4 \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ -2\end{array}\right)=\frac{1}{12}\cdot\left(\begin{array}{c}0\\ -12\\ 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 1\end{array}\right)
\]
Итак, решение системы линейных уравнений имеет вид (0; -1; 1)
Переходим к решению системы линейных уравнений заключительным методом - методом Гаусса.
3. Метод Гаусса
Запишем СЛАУ в виде матрицы, расширенной за счет элементов её правой части:
Переходим к решению системы линейных уравнений заключительным методом - методом Гаусса.
3. Метод Гаусса
Запишем СЛАУ в виде матрицы, расширенной за счет элементов её правой части:
\[A=\left(\begin{array}{c}1 & 2 & 3&\mid 1\\3 & 2& 1&\mid -1 \\2 & 3& 1& \mid-2 \end{array}\right)
\]
С помощью элементарных преобразований сведём расширенную матрицу к треугольному виду:
\[A=\left(\begin{array}{c}1 & 2 & 3&\mid 1\\3 & 2& 1&\mid -1 \\2 & 3& 1& \mid-2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & 2 & 3&\mid 1\\0 & -4& -8&\mid -4 \\0 & -1& -5& \mid-4 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & 2 & 3&\mid 1\\0 & 1& 2&\mid 1 \\0 & 0& 3& \mid3 \end{array}\right)
\]
Вычисляем значения переменных СЛАУ снизу вверх:
z = 1: y = 1 - 2 = -1; x = 1 - 3 + 2 =0
Как и в предыдущих способах решения, получаем решение системы линейных уравнений (0; -1; 1)
Ответ: (0; -1; 1)
z = 1: y = 1 - 2 = -1; x = 1 - 3 + 2 =0
Как и в предыдущих способах решения, получаем решение системы линейных уравнений (0; -1; 1)
Ответ: (0; -1; 1)