Задание из части С , ЕГЭ по математике ( реальное задание С6 от 07.07.2012 )
Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более 2/11 от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более 2/5 от общего числа учащихся группы, посетивших кино.
а) Могло ли быть в группе 9 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
с) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а) и б)?
Решение:
а) Чтобы проверить могло ли быть в группе 9 мальчиков, мы должны указать такой набор учащихся, при котором все условия задачи будут выполнены.
1. Предположим, что из всей группы 11 девочек сходили и в театр, и в кино, а из 9 мальчиков 1 посетил только театр, 8 посетили только кино. Тогда в театре мальчиков было 1/12 от общего числа учащихся группы, посетивших театр и так как 1/12 < 2/11 , то условие выполнено. В кино мальчиков было 8/19 от общего числа учащихся группы, посетивших кино, но
8/19 > 2/5=8/20 , значит, второе условие не выполняется.
Вот здесь внимание, мы рассмотрели только один из возможных вариантов, поэтому не следует спешить и делать вывод, что «не могло», надо рассмотреть следующий вариант:
2. Пусть из всей группы 11 девочек сходили и в театр, и в кино, а из 9 мальчиков 2 посетили только театр, 7 посетили только кино. Тогда в театре мальчиков было 2/13 от общего числа учащихся группы, посетивших театр и так как 2/13 < 2/11 , то условие выполнено. В кино мальчиков было 7/18 от общего числа учащихся группы, посетивших кино, при этом
7/18 < 2/5, значит, второе условие выполняется.
Ура, мы рассмотрели тот набор учащихся, который полностью удовлетворяет условию задачи, значит, теперь смело можем ответить «Могло» и записать ответ в пункте а) «Да»!
Переходим к следующему пункту задачи:
б) Мы уже знаем, что в группе может быть 9 мальчиков, тогда логично сделать предположение: Пусть в группе 10 мальчиков, а тогда девочек тоже 10, вообще замечательно, каждой девочке по мальчику и пошли по парам в кино или театр, но не будем забывать про условие задачи. Имеем:
- театр посетило не более 2 мальчиков, так как если бы их было 3 или больше,
то доля мальчиков, посетивших театр, была бы больше 3/13 , что превосходит 2/11 и условие задачи бы не выполнилось.
- кино посетило не более 7 мальчиков, так как если бы их было 8 или больше,
то доля мальчиков, сходивших в кино, была бы больше 8/18=4/9 , что больше 2/5 и условие задачи бы не выполнилось.
И вот, что же мы имеем, наши рассуждения привели нас к тому, что 1 мальчик не попал ни в кино, ни в театр. Следовательно, наше предположение о 10 мальчиках в группе не верное, а значит 9 и есть наибольшее число мальчиков в группе. И записываем ответ для пункта б) 9.
Переходим теперь к последнему пункту:
с) Сразу следует отметить, что фраза «без дополнительного условия пунктов а) и б)» означает, что мы не знаем, сколько человек в группе, что усложняет решение.
Давайте немножечко схитрим и для оценки наименьшей доли девочек в группе предположим, что каждый мальчик сходил или только в театр, или только в кино.
(Только не подумайте, что можно вот так просто взять и изменить условие задачи. Такой манёвр возможен за счёт того, что если, например, некоторый мальчик сходил и в театр, и в кино, и если бы вместо него в группе присутствовало два мальчика, один из которых посетил только театр, а другой - только кино, то доля мальчиков и в театре, и в кино оставалась бы прежней.)
Теперь переходим к расчётной части.
Пусть в группе А мальчиков, посетивших театр, В мальчиков, посетивших кино, и
С девочек. Полагаем, что все девочки ходили и в театр, и в кино, так как их доля в группе от этого не изменится доля, а в театре и в кино не уменьшится.
По условию
