Дифференциальные уравнения
В этом разделе рассматриваются основные виды дифференциальных уравнений и их методы решения на конкретных примерах, а также основные способы решения дифференциальных систем уравнений и задачи практического содержания, приводящиеся к дифференциальным уравнениям.
Пример 1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка: y’sinx = ycosx
Решение:
Запишем данное дифференциальное уравнение в виде:
Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка: y’sinx = ycosx
Решение:
Запишем данное дифференциальное уравнение в виде:
Разделяя переменные дифференциального уравнения, получим
Интегрируя левую и правую часть уравнения, имеем
Итак, у = Сsinx - общее решение дифференциального уравнения.
Пример 2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка: y ’ = (y-x) / (y+x)
Решение:
Так как уравнение является однородным, то сделаем замену у = tх , тогда y’= t’x + t, следовательно дифференциальное уравнение примет вид:
Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка: y ’ = (y-x) / (y+x)
Решение:
Так как уравнение является однородным, то сделаем замену у = tх , тогда y’= t’x + t, следовательно дифференциальное уравнение примет вид:
Определяем общее решение однородного дифференциального уравнения, выполнив обратную подстановку: